Trigonometri

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Sejarah awal

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.
Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga.
Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.
Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.

Trigonometri sekarang ini

Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.
Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.
Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran" dan "quadrance", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas New South Wales. Informasi lebih lanjut bisa dilihat di situs webnya [1].

Hubungan fungsi trigonometri

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \,$

$1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} = \sec^2 A\,$

$1 + \cot^2 A = \csc^2 A \,$

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\,$

Penjumlahan

$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \,$

$\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \,$

$\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \,$

$\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \,$

$\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \,$

$\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \,$

Rumus sudut rangkap dua

$\sin 2A = 2 \sin A \cos A \,$

$\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A -1 = 1-2 \sin^2 A \,$

$\tan 2A = {2 \tan A \over 1 - \tan^2 A} = {2 \cot A \over \cot^2 A - 1} = {2 \over \cot A - \tan A} \,$

Rumus sudut rangkap tiga

$\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A \,$

$\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A \,$

Rumus setengah sudut

$\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}} \,$

$\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} \,$

$\tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} = \frac {\sin A}{1+\cos A} = \frac {1-\cos A}{\sin A} \,$

PERBANDINGAN DAN FUNGSI TRIGONOMETRI

1. Untuk sudut lancip A dalam suatu segitiga siku-siku berlaku beberapa hal berikut.
    a. Sisi siku-siku di depan A disebut sisi didepan a.
    b. Sisi siku-siku yang membentuk A di sebut sisi di dekat A.
    c. Sisi di depan sudut 900 disebut Hipotalamus.
2. Definisi perbandingan trigonometri untuk sudut lancip sebuah segitiga siku-siku.
    Sin A = sisi depan A/hipotalamus
    Cos A = Sisi di dekat A/hipotalamus
    Tan A = sisi di depan A/sisi didekat A
    Cosec A = Hipotalamus/ sisi di depan A
    Sec A = hipotalamus / hsisi dideka A
    Cot A = sisi di dekat A/ sisi di depan A
3. Kuadram 1 : 0◦ ≤A< 90◦
    Kuadram II : 900 ≤A< 1800
    Kuadram III : 1800 ≤ A < 2700
    Kuadram IV :2700 ≤ A < 3600

Tanda positif dri perbandingan trigonometri pada setiap kuadram dimulai dari kuadram I dapat dinyatakan oleh jembatan pengingat berikut,
All SIN TA KOS
I II III IV

4. Untuk setiap sembarang P(x,y) yang terletak pada lingkaran yang berjari-jari r
     ( r = √x2 + y2)
    Definisi ke enam perbandingan trigonometri adalah sebagai berikut :
         Sin A = y/r Cosecn A = r/y
         Cos A = x/r Sec A = r/x
      Tan A = y/r Cotan A = x/y
   Catatan : r selalu positif, sedangkan x dan y positif atau negative tergantung pada letak kuadram dari titik P.

5. Delapan identitas dari trigonometri

    Identitas kebalikan
   Cosec A= 1/ sinA
   Sec A = 1/CosA
   Cot A = 1/ TanA

    Identitas perbandingan
   Tan A = Sin A/ Cos A
   Cotan A = Cos A/ Sin A
       Sin2A + Cos2A = 1

    Identitas phitagoras
      1 + Cotan2A = Cosec2A
      1 + tan2A = Sec2A

ATURAN SINUS, COSINUS DAN RUMUS LUAS SEGITIGA

1. Suatu segitiga memiliki 6 unsur, yaitu 3 sisi dan 3 sudut. Jik 3 unsur dari segitiga diketahui dengan salah satunya adalah sisi, ketiga unsure lainnya dapat ditentukan dengan aturan sinus dan atau cosinu. Perlu anda ingat jika dua sudut diketahui, sudut ketiga segera dapat ditentukan, karena A +B + C = 1800.

2. Untuk segitiga ABC berlaku aturan sinus sebagai berikut:
     a/Sin A= b/Sin B = c/Sin C
     atau
     Sin A : Sin B : Sin C = a : b : c

4. Untuk segitiga ABC berlaku aturan Cosinus sebagai berikut:
     a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A cos A = (b2 + c2 – a2) /2bc
     b2 = a2 + c2 – 2 ac cos B cos B = (a2 + c2 - b2 ) / 2ac
      c2 = a2 + b2 – 2 ab cos C cos C = (a2 + b2 - c2) / 2ab

5. Rumus umum Luas segitiga adalah:
     L = ½ bc Sin A
     L = ½ ab Sin C
     L = ½ ac Sin B
    Rumus umum luas hanya dapat langsung digunakan untuk kasus si-sd-si

6. Untuk ketiga sisi segitiga diketahui ( kasus si-sd-si) luas segitiga dapat lebih cepatanda hitung dengan
     menggunakan rumus heron.
     Luas L = √s(s-a)(s-b)(s-c)
     Dengan s = ½ keliling = ½ (a + b+ c)

Contoh Soal :